OPERACIONES CON MATRICES
viernes, 26 de octubre de 2012
OPERACIONES CON MATRICES
Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.
Suma o adición
Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria tal que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea
No es necesario que las matrices sean cuadradas:
A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se
pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de
matrices en el caso de que las entradas estén en un campo
serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento
neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas
son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria
- Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
- Conmutatividad
Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
- Existencia del elemento neutro aditivo
Existe tal que
Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.
- Existencia del inverso aditivo
Existe tal que
a esta matriz se le denota por .
Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .
En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos).
Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrinsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.
En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .
Producto por un escalar
Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual al producto .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea y
También es inmediato observar que el producto por un escalar da como
resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el
producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo
serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra
respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad
concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del
campo. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar
- Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
- Distributividad respecto de la suma de matrices
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
- Distributividad respecto de la suma en el campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
- Producto por el neutro multiplicativo del campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.
En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un módulo sobre .
Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo .
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo debido a que para todo .
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces para todo implica que o para todo , i.e. .
No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean
cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo
que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la
suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
Este último resultado permite usar la notación sin riesgo de ambigüedad.
Producto
Artículo principal: Multiplicación de matrices.
Artículo principal: Aplicación lineal.
El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta
caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel
de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales.
Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición
de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz
corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales
entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el
producto de matrices, representa la composición de aplicaciones
lineales.
En efecto, en ciertas bases tenemos que se puede representar como donde es la representación de un vector de en la base que se ha elegido para en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales y entonces y , luego la aplicación se representará como donde es el producto de las representaciones matriciales de . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de ,
en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los
espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de
la siguiente manera.
Sean y . Se define el producto de matrices como una función tal que y donde para toda , es decir . Por ejemplo, la entrada .
Veamos un ejemplo más explícito. Sean y
dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz .
Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones
lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función
de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las
entradas, el producto no estará bien definido, ya que si no tiene el mismo número de columnas que
de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la
acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están
definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras
que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no
se tomen en cuenta. Así es necesario que tenga el mismo número de columnas que de filas para que exista.
Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación
serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones
impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación
respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no
siempre es una operación interna.
Propiedades
Sean matrices con entradas en , donde
es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el
producto de matrices (considerando que los productos existan)
- Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si , y por lo que donde debido a que para todo . Aquí estamos considerando que es , es y es .
- Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Aquí estamos considerando que es , es y es .
- Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Aquí estamos considerando que es , es y es .
El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos tendremos que el producto entre matrices en también está en . En ese caso además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún con el producto de matrices es un anillo.
Rango
Artículo principal: Rango de una matriz.
El rango de una matriz es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por , que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de .
Traspuesta
Artículo principal: Matriz traspuesta.
La traspuesta de una matriz , donde no es necesariamente un campo, es una matriz tal que . Por ejemplo la entrada .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea
entonces su traspuesta es
Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es aquella
matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las
notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son .
La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades (donde
ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo
conmutativo):
Si representa una aplicación lineal, entonces la matriz describe la traspuesta de la aplicación lineal.
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