OPERACIONES CON MATRICES

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & 6 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades

Sean $A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria $+$

Asociatividad

$(A+B)+C=A+(B+C)\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Conmutatividad

$(A+B)=(B+A)\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que

$A+0=0+A=A\,\!$

Demostración Tómese $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $0_{ij}=0_{\mathbb{K}}\in\mathbb{K}$ para cualquier $i,j\,\!$ (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ se sigue que $A+0=A\,\!$ ya que $a_{ij}+0_{ij}=a_{ij}+0_{\mathbb{K}}=a_{ij}$ para cualquier $i,j\,\!$ , dado que las entradas están en un campo.

Existencia del inverso aditivo

Existe $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que

$A+D=0\,\!$

a esta matriz $D\,\!$ se le denota por $-A\,\!$ .

Demostración Dada $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tómese $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+D=0\,\!$ . Entonces $a_{ij}+d_{ij}=0_{ij}=0_{\mathbb{K}}$ ; luego, por las propiedades de campo $d_{ij}=-a_{ij}\,\!$ donde $-a_{ij}\,\!$ es el inverso aditivo de $a_{ij}\,\!$ en el campo para cualquier $i,j\,\!$ .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son $\mathbb{R}$ (los números reales) y $\mathbb{C}$ (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrinsecamente la propiedad de que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que $(\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}),+)$ es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(A),+)$ , ya que bajo un anillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ se tiene que $(A,+_{A})\,\!$ es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo $(G,+_{G})\,\!$ , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(G),+)$ .

Producto por un escalar

Sean $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $\lambda\in\mathbb{K}$ . Se define la operación de producto por un escalar como una función $\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(\lambda,A)\mapsto B=\lambda A$ y donde $b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\!$ en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $b_{12}\,\!$ es igual al producto $\lambda a_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$ y $2\in\mathbb{R}$

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1) & 2(8) & 2(-3) \\ 2(4) & 2(-2) & 2(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 12 \end{bmatrix}$

También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Asociatividad

$(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda\mu)a_{ij}=\lambda(\mu a_{ij})\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices

$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\lambda(a_{ij}+b_{ij})=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Distributividad respecto de la suma en el campo

$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda+\mu)a_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Producto por el neutro multiplicativo del campo

$1_{\mathbb{K}}A=A\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $1_{\mathbb{K}}(a_{ij})=a_{ij}$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que $\mathcal{M}_{n\times m}(A)$ es un módulo sobre $A\,\!$ .

Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

$\lambda 0=0\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=\lambda(0_{ij})=\lambda(0_{\mathbb{K}})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ .

$0_{\mathbb{K}}A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=0_{\mathbb{K}}(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

$\lambda A=0\longrightarrow \lambda=0_{\mathbb{K}}\text{ o }A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces $\lambda(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ implica que $\lambda=0_{\mathbb{K}}$ o $a_{ij}=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ , i.e. $A=0\,\!$ . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

$(-\lambda)A=\lambda(-A)\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(-\lambda)(a_{ij})=(-1_{\mathbb{K}}(\lambda))a_{ij}=(\lambda(-1_{\mathbb{K}}))a_{ij}=\lambda(-1_{\mathbb{K}}(a_{ij}))=\lambda(-a_{ij})$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Este último resultado permite usar la notación $-\lambda A\,\!$ sin riesgo de ambigüedad.

Producto

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices $A\,\!$ y $B\,\!$ dando como resultado la matriz $AB\,\!$ .

Artículo principal: Multiplicación de matrices.

Artículo principal: Aplicación lineal.

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que $f:V\longrightarrow W$ se puede representar como $f(x)=Ax\,\!$ donde $x\,\!$ es la representación de un vector de $V\,\!$ en la base que se ha elegido para $V\,\!$ en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales $f:V\longrightarrow W$ y $g:W\longrightarrow U$ entonces $f(x)=Bx\,\!$ y $g(x)=Ax\,\!$ , luego la aplicación $g\circ f:V\longrightarrow U$ se representará como $g\circ f(x)=g(f(x))=g(Bx)=ABx$ donde $AB\,\!$ es el producto de las representaciones matriciales de $f,g\,\!$ . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de $V\rightarrow W\rightarrow U\,\!$ , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.

Sean $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $B\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})$ . Se define el producto de matrices como una función $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\longrightarrow \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=AB$ y donde $c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ para toda $i,j\,\!$ , es decir $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\,\!$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{2j}+\dots+a_{1m}b_{m2}$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sean $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$ y $B\in\mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(3)+0(2)+2(1) & 1(1)+0(1)+2(0) \\ -1(3)+3(2)+1(1) & -1(1)+3(1)+1(0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz $C\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ .

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si $A\,\!$ no tiene el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que $A\,\!$ tenga el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas para que $AB\,\!$ exista.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

Propiedades

Sean $A,B,C\,\!$ matrices con entradas en $\mathbb{K}$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)

Asociatividad

$A(BC)=(AB)C\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si $A(BC)=AH=R\,\!$ , $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}h_{kj}\,\!$ y $h_{ij}=\sum_{\ell=1}^{p}b_{i\ell}c_{\ell j}\,\!$ por lo que $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}\sum_{\ell=1}^{p}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}s_{i\ell}c_{\ell j}=t_{ij}\,\!$ donde $(AB)C=SC=T\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $p\times q$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha

$(A+B)C=AC+BC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^{m}b_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $n\times m$ y $C\,\!$ es $m\times p$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

$A(B+C)=AB+AC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $m\times p$ .

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ tendremos que el producto entre matrices en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ también está en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . En ese caso $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces $\mathcal{M}_{n}(A)$ además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)$ con $\cdot$ el producto de matrices es un anillo.

Rango

Artículo principal: Rango de una matriz.

El rango de una matriz $A\,\!$ es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por $A\,\!$ , que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de $A\,\!$ .

Traspuesta

Artículo principal: Matriz traspuesta.

La traspuesta de una matriz $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(X)\,\!$ , donde $X\,\!$ no es necesariamente un campo, es una matriz $B\in\mathcal{M}_{m\times n}(X)\,\!$ tal que $b_{ij}=a_{ji}\,\!$ . Por ejemplo la entrada $b_{12}=a_{21}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix}$

entonces su traspuesta es

$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 8 & -2 \\ -3& 6 \end{bmatrix}$

Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son $A^{T}, A^{t}\,\!$ .

La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):

$\begin{align} & (A^{T})^{T}=A, \\ & (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}, \\ & (AB)^{T}=B^{T}A^{T}, \\ \end{align}$

Si $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(X)\,\!$ representa una aplicación lineal, entonces la matriz $A^{T}\,\!$ describe la traspuesta de la aplicación lineal.

OPERACIONES CON MATRICES

viernes, 26 de octubre de 2012

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